基于量子三叉樹的量子Black—Scholes期權(quán)定價(jià)

 量子金融是量子概率應(yīng)用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權(quán)定價(jià)[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內(nèi)外學(xué)者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)量子模型。E.Sega[3]用量子效應(yīng)解釋在金融市場期權(quán)價(jià)格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權(quán)利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價(jià)格的關(guān)系。本文建立了量子三叉樹模型。根據(jù)期權(quán)折現(xiàn)流在量子概率下是一個(gè)鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時(shí)根據(jù)Tailor公式，用量子力學(xué)過程代替經(jīng)典隨機(jī)過程描述股票價(jià)格，在股票價(jià)格St遵循量子Brown運(yùn)動(dòng)的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實(shí)例應(yīng)用和Matlab仿真都證實(shí)了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權(quán)計(jì)算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。
1 量子三叉樹模型
2 連續(xù)量子Black-Scholes模型
定理2. 量子期權(quán)平價(jià)公式
在任意一個(gè)時(shí)刻t證明：在t=0時(shí)刻，由文獻(xiàn)[9]可以構(gòu)造兩個(gè)量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。
設(shè)Vt（φ）是投資組合φ在時(shí)刻t的財(cái)富值，考慮上面兩個(gè)量子投資組合，在t=T時(shí)刻的值
VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}
VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}
故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。
有了量子期權(quán)平價(jià)公式，由量子B-S算出看漲期權(quán)的價(jià)格，就可以得出看跌期權(quán)的價(jià)格。
4 實(shí)例應(yīng)用
5 量子歐式期權(quán)敏感性[10]應(yīng)用
以下是用MATLA對歐式期權(quán)敏感性做的仿真：
圖1和圖2表示期權(quán)標(biāo)的物的價(jià)格波動(dòng)性變動(dòng)對期權(quán)價(jià)格的影響程度，數(shù)學(xué)表達(dá)式■，f為Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式中期權(quán)價(jià)格函數(shù)C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經(jīng)典圖更能體現(xiàn)細(xì)微的波動(dòng)值的變動(dòng)。
6 結(jié)論
本文以量子概率的角度，利用量子力學(xué)理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復(fù)雜期權(quán)定價(jià)問題。實(shí)例應(yīng)用和敏感性分析都證實(shí)了量子B-S模型的有效性，量子期權(quán)圖對金融市場標(biāo)的物的價(jià)格細(xì)微波動(dòng)變化反應(yīng)更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。