基于一維非穩(wěn)態(tài)熱傳遞模型的高溫作業(yè)專(zhuān)用服飾

本文基于傳熱學(xué)原理，利用一維非穩(wěn)態(tài)熱傳遞過(guò)程模型，對(duì)熱防護(hù)服的初始條件和邊界條件進(jìn)行討論，通過(guò)偏微分方程得到溫度的分布關(guān)系；利用變步長(zhǎng)搜索法遍歷II層厚度值，得到最優(yōu)厚度值；最后遍歷出若干組滿足約束條件的II層、IV層厚度值，通過(guò)綜合評(píng)價(jià)求解出最優(yōu)的II層、IV層厚度。

1  問(wèn)題背景

為了更快地設(shè)計(jì)出可以在高溫環(huán)境下使用的專(zhuān)業(yè)服飾，我們根據(jù)2018年高教杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題建立模型，分析并解決以下問(wèn)題：

（1）在環(huán)境溫度75oC、II層厚度6mm、IV層厚度5mm、工作時(shí)間90分鐘的情況下計(jì)算假人皮膚外側(cè)溫度。

（2）在環(huán)境溫度65oC、IV層厚度5.5mm時(shí)，確定II層的最優(yōu)厚度，以確保工作60分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47oC，且超過(guò)44oC的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。

（3）當(dāng)環(huán)境溫度為80oC時(shí)，求II層和IV層的最優(yōu)厚度，以確保工作30分鐘時(shí)，假人皮膚外側(cè)溫度不超過(guò)47oC，且超過(guò)44oC的時(shí)間不超過(guò)5分鐘。

2  問(wèn)題分析

問(wèn)題一：這是個(gè)關(guān)于非穩(wěn)態(tài)傳熱過(guò)程的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。利用傳熱學(xué)中的理論計(jì)算出熱量和溫度間的關(guān)系，再根據(jù)Fourier定律，可得到熱傳導(dǎo)的偏微分方程解答。

問(wèn)題二：本質(zhì)為優(yōu)化問(wèn)題中的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，利用問(wèn)題一中的非穩(wěn)態(tài)熱傳遞微分方程組來(lái)利用了有限差分法和變步長(zhǎng)搜索法來(lái)反求參數(shù)。

問(wèn)題三：本質(zhì)是一個(gè)求解優(yōu)化問(wèn)題中的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，可以在滿足約束條件的情況下，遍歷IV層的厚度，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題二求解。并引入功能值，用該值的大小來(lái)統(tǒng)一量化目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算最優(yōu)厚度。

3  模型的建立和求解

3.1  問(wèn)題一

3.1.1  熱傳導(dǎo)模型

熱量從防熱服外向內(nèi)傳導(dǎo)的過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程，遵循Fourier定律，可用熱流密度表示，如式（1）：

（1）

其中，表示熱流密度；為熱傳導(dǎo)率；為物體溫度沿x軸方向的變化率。

熱量傳導(dǎo)的過(guò)程滿足能量守恒定律，根據(jù)傅里葉定律可得到微分方程，如式（2）：

（2）

其中，表示比熱；為單位體積的質(zhì)量密度；為熱傳導(dǎo)。

3.1.2  邊界條件的計(jì)算

在防護(hù)服的外表面，利用能量守恒定律，可以得到織物表面的熱傳導(dǎo)公式（3）：

(3)

熱對(duì)流的熱流密度可以用牛頓冷卻公式得到：

(4)

其中，為對(duì)流換熱系數(shù)，根據(jù)Rapp的分析結(jié)果，；表示防護(hù)服外表面的溫度；表示為高溫環(huán)境的溫度。

熱輻射的熱流密度為：

(5)

其中，為紡織品表面的熱輻射率，經(jīng)dunkle測(cè)量，；為Stefan-Boltzmann常量，即黑體輻射常數(shù)，。

將式（1）、（4）、（5）代入到式（3）中，得到防護(hù)服外表面的左邊界函數(shù)如下：

由于在右邊界IV層與皮膚之間既有熱傳導(dǎo)又有熱輻射，所以其邊界條件可用公式(1)、(3)、(5)得到：

其中；為假體的熱輻射率，；表示假人皮膚外側(cè)的溫度，單位為K； 表示假人內(nèi)部溫度，。 

假設(shè)初始的熱防護(hù)服的整體溫度為37oC，即：

最后求解，得到假體熱傳導(dǎo)率數(shù)值為0.0851，溫度分布情況如圖1：

圖1  溫度分布情況

3.2  問(wèn)題二

該目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：，其約束條件如下：

利用變步長(zhǎng)搜索法，最后計(jì)算得到的第二層的最優(yōu)厚度的為10.8mm。

3.3  問(wèn)題三

先將IV層邊緣的厚度（即0.6mm和6.4mm）作為定值代入。用第二問(wèn)的方法求出滿足約束條件的最優(yōu)的II層厚度。其計(jì)算結(jié)果如下：

表1  厚度邊界特殊節(jié)點(diǎn)表

IV層厚度 0.6mm（左邊界） 6.4mm（右邊界）

II層厚度 ≥22.4mm 18.9mm

取第II層的厚度作為范圍遍歷，步長(zhǎng)定為0.1mm，求解IV層的厚度，并選取厚度、重量、防護(hù)性能為評(píng)價(jià)指標(biāo)選出最優(yōu)厚度。通過(guò)TOPSIS方法對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的數(shù)值進(jìn)行處理，得到的評(píng)價(jià)方程為：

其中為評(píng)價(jià)得分；為厚度；為重量；為瞬時(shí)導(dǎo)熱率。

最后，得到的最優(yōu)結(jié)果為：II層的厚度的為19.9mm，IV層的厚度為4.6mm。

4  模型的評(píng)價(jià)與推廣

充分利用相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)合傳熱學(xué)原理，建立符合實(shí)際的模型。由于時(shí)間的限制，沒(méi)有更進(jìn)一步地探討精度的問(wèn)題，結(jié)果可能會(huì)有一定的偏差。

將此模型推廣到實(shí)際生活中，可以設(shè)計(jì)出更加輕便的高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝，提高高溫作業(yè)的工作效率和舒適程度。同時(shí)還可以推廣到低溫作業(yè)環(huán)境，或者其他對(duì)溫度要求較高的環(huán)境中。

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