基于一維非穩(wěn)態(tài)熱傳遞模型的高溫作業(yè)專用服飾

本文基于傳熱學(xué)原理，利用一維非穩(wěn)態(tài)熱傳遞過程模型，對熱防護服的初始條件和邊界條件進行討論，通過偏微分方程得到溫度的分布關(guān)系；利用變步長搜索法遍歷II層厚度值，得到最優(yōu)厚度值；最后遍歷出若干組滿足約束條件的II層、IV層厚度值，通過綜合評價求解出最優(yōu)的II層、IV層厚度。

1  問題背景

為了更快地設(shè)計出可以在高溫環(huán)境下使用的專業(yè)服飾，我們根據(jù)2018年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題建立模型，分析并解決以下問題：

（1）在環(huán)境溫度75oC、II層厚度6mm、IV層厚度5mm、工作時間90分鐘的情況下計算假人皮膚外側(cè)溫度。

（2）在環(huán)境溫度65oC、IV層厚度5.5mm時，確定II層的最優(yōu)厚度，以確保工作60分鐘時，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47oC，且超過44oC的時間不超過5分鐘。

（3）當(dāng)環(huán)境溫度為80oC時，求II層和IV層的最優(yōu)厚度，以確保工作30分鐘時，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47oC，且超過44oC的時間不超過5分鐘。

2  問題分析

問題一：這是個關(guān)于非穩(wěn)態(tài)傳熱過程的數(shù)學(xué)模型問題。利用傳熱學(xué)中的理論計算出熱量和溫度間的關(guān)系，再根據(jù)Fourier定律，可得到熱傳導(dǎo)的偏微分方程解答。

問題二：本質(zhì)為優(yōu)化問題中的目標(biāo)規(guī)劃問題，利用問題一中的非穩(wěn)態(tài)熱傳遞微分方程組來利用了有限差分法和變步長搜索法來反求參數(shù)。

問題三：本質(zhì)是一個求解優(yōu)化問題中的多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以在滿足約束條件的情況下，遍歷IV層的厚度，將該問題轉(zhuǎn)化為問題二求解。并引入功能值，用該值的大小來統(tǒng)一量化目標(biāo)函數(shù)，計算最優(yōu)厚度。

3  模型的建立和求解

3.1  問題一

3.1.1  熱傳導(dǎo)模型

熱量從防熱服外向內(nèi)傳導(dǎo)的過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，遵循Fourier定律，可用熱流密度表示，如式（1）：

（1）

其中，表示熱流密度；為熱傳導(dǎo)率；為物體溫度沿x軸方向的變化率。

熱量傳導(dǎo)的過程滿足能量守恒定律，根據(jù)傅里葉定律可得到微分方程，如式（2）：

（2）

其中，表示比熱；為單位體積的質(zhì)量密度；為熱傳導(dǎo)。

3.1.2  邊界條件的計算

在防護服的外表面，利用能量守恒定律，可以得到織物表面的熱傳導(dǎo)公式（3）：

(3)

熱對流的熱流密度可以用牛頓冷卻公式得到：

(4)

其中，為對流換熱系數(shù)，根據(jù)Rapp的分析結(jié)果，；表示防護服外表面的溫度；表示為高溫環(huán)境的溫度。

熱輻射的熱流密度為：

(5)

其中，為紡織品表面的熱輻射率，經(jīng)dunkle測量，；為Stefan-Boltzmann常量，即黑體輻射常數(shù)，。

將式（1）、（4）、（5）代入到式（3）中，得到防護服外表面的左邊界函數(shù)如下：

由于在右邊界IV層與皮膚之間既有熱傳導(dǎo)又有熱輻射，所以其邊界條件可用公式(1)、(3)、(5)得到：

其中；為假體的熱輻射率，；表示假人皮膚外側(cè)的溫度，單位為K； 表示假人內(nèi)部溫度，。 

假設(shè)初始的熱防護服的整體溫度為37oC，即：

最后求解，得到假體熱傳導(dǎo)率數(shù)值為0.0851，溫度分布情況如圖1：

圖1  溫度分布情況

3.2  問題二

該目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為：，其約束條件如下：

利用變步長搜索法，最后計算得到的第二層的最優(yōu)厚度的為10.8mm。

3.3  問題三

先將IV層邊緣的厚度（即0.6mm和6.4mm）作為定值代入。用第二問的方法求出滿足約束條件的最優(yōu)的II層厚度。其計算結(jié)果如下：

表1  厚度邊界特殊節(jié)點表

IV層厚度 0.6mm（左邊界） 6.4mm（右邊界）

II層厚度 ≥22.4mm 18.9mm

取第II層的厚度作為范圍遍歷，步長定為0.1mm，求解IV層的厚度，并選取厚度、重量、防護性能為評價指標(biāo)選出最優(yōu)厚度。通過TOPSIS方法對評價結(jié)果的數(shù)值進行處理，得到的評價方程為：

其中為評價得分；為厚度；為重量；為瞬時導(dǎo)熱率。

最后，得到的最優(yōu)結(jié)果為：II層的厚度的為19.9mm，IV層的厚度為4.6mm。

4  模型的評價與推廣

充分利用相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)合傳熱學(xué)原理，建立符合實際的模型。由于時間的限制，沒有更進一步地探討精度的問題，結(jié)果可能會有一定的偏差。

將此模型推廣到實際生活中，可以設(shè)計出更加輕便的高溫作業(yè)專用服裝，提高高溫作業(yè)的工作效率和舒適程度。同時還可以推廣到低溫作業(yè)環(huán)境，或者其他對溫度要求較高的環(huán)境中。

本文來源：《企業(yè)科技與發(fā)展》：http://12-baidu.cn/w/qk/21223.html