一個三角形分割成兩個等腰三角形的條件和分法-數(shù)學(xué)論文發(fā)表

摘要：通過對一個三角形分割成兩個等腰三角形的條件的討論，找到可分割的條件和分法。
關(guān)鍵詞：分割線 可分割 直角三角形 等腰三角形
在數(shù)學(xué)問題中常碰到把一個三角形分割成兩個等腰三角形，本文試圖通過對這類問題的討論，找到其中的規(guī)律。在文中所討論的分割都是經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)的一條直線把這個三角形分割成兩個等腰三角形，如果存在這樣的直線，我們稱這樣的三角形為可分割；否則稱不可分割。這樣的直線我們稱為分割線。
一、直角三角形是否可分割？
因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，所以直角三角形斜邊上的中線一定分這個直角三角形為兩個等腰三角形。
結(jié)論1：直角三角形是可分割的。直角三角形斜邊上的中線為分割線。一般直角三角形的直角頂點(diǎn)只有這樣一種分法。特別地，如果直角三角形中有一個銳角為22.5°（或有一個銳角為67.5°），則還有另外一種分法如圖：
二、一般三角形是否可分割？
我們先討論如果經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)把一個三角形分成兩個等腰三角形時(shí)，三角形中的角之間存在怎樣的關(guān)系。
在 中，不妨設(shè) 是其最小的內(nèi)角。
（1）因?yàn)?是三角形中最小的內(nèi)角，所以不存在過頂點(diǎn)C的分割線。
（2）過頂點(diǎn) 的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，那么 與 之間存在怎樣的關(guān)系呢？設(shè) ， ，過點(diǎn) 的直線交邊 于 ．在 中。
①若 是頂角，如圖1，則 ， = ， ．此時(shí)只能有 ,即 ，∴ ，即 ．
②若 是底角，則有兩種情況．
第一種情況：如圖2，當(dāng)DB=DC時(shí)，則 ，在△ABD 中， ， ．因?yàn)椤鰽BD 也是等腰三角形，所以對△ABD 也要分三種情況進(jìn)行討論：
1 ．由AB=AD，得 ，此時(shí)有 ，即 ．
2 ．由AB=BD，得 ，此時(shí) ，即 ．
3 ．由AD=BD，得 ，此時(shí) ，即 ， 為小于 的任意銳角．
第二種情況，如圖3，當(dāng)BD=BC時(shí)， ，因?yàn)?為三角形中最小的角，必定為銳角，所以 ，此時(shí)△ABD是等腰三角形，只能有AD=BD，從而 ，這與題設(shè) 是最小角矛盾． 所以當(dāng) 是底角時(shí)，BD=BC不成立．
（3）類似地，我們可以討論如果從點(diǎn)A作一條直線把這個三角形分割成兩個等腰三角形。
綜合上面的討論，我們可以得到如下結(jié)論：
結(jié)論2：
在△ABC中， 為最小角，當(dāng) 滿足① ；② ；③ ；④ 這四個條件中的任意一個，即可經(jīng)過點(diǎn)B畫分割線。當(dāng) 滿足① ；② ；③ ；④ 中的一個，即可以經(jīng)過點(diǎn)A畫分割線。
三、等腰三角形是否可分割？
(一)當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí),顯然不能分為兩個等腰三角形。
(二)當(dāng)△ABC是腰和底邊不相等的等腰三角形時(shí),同樣不妨設(shè)最小的角為 ，
1.如果最小的角為底角，則這個三角形的另兩個角的度數(shù)分別為 ， ，根據(jù)結(jié)論2，可得①當(dāng) ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為45，45，90；②當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為36，36，108；③當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為36，36，108；④當(dāng) =90， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為45，45，90。
2.如果最小的角為頂角，則這個三角形的另兩個角的度數(shù)均為 。根據(jù)結(jié)論2，可得①當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為 ， ， ；②當(dāng)  ， 時(shí)，三角形可分割，三角形三個角的度數(shù)為36，72，72。
綜上所述，我們可得：
結(jié)論3：等腰三角形的可分割只有四種情況，三個角的度數(shù)分別如下①45，45，90：②36，36，108；③ ， ， ；④36，72，72。其中①,②兩種情況的分割線經(jīng)過頂角頂點(diǎn)；③，④兩種情況的分割線經(jīng)過底角頂點(diǎn)。